Felső korlát definíció és monotonitás vizsgálata sorozatokban
Bár függvényként kezelhetjük őket, de a definíció következtében a függvényvizsgálatok egy részére nincs szükség. Hiszen például az értelmezési tartomány adott, a pozitív természetes számok halmaza. Persze bizonyos sorozatoknál ez szükülhet is. Erről könnyen megállapítható, hogy minden tagja nagyobb lesz mint 1, hiszen a számlálója nagyobb, mint a nevezője. Alakítsuk át a sorozat hozzárendelési szabályát: \( a_{n}=\left\{\frac{n+1}{n-1} \right\}=\left\{ 1+\frac{2}{n-1}\right\} \; n∈\mathbb{N}^{+} \; n>1 \).
Az {an} sorozat felülről korlátos, ha van olyan „K” szám, hogy a sorozat minden an tagjára an ≤K teljesül. Az {an} sorozat alulról korlátos, ha van olyan „k” szám, hogy a sorozat minden „an” tagjára an ≥ k teljesül. Mondhatjuk, hogy a fenti sorozat korlátos, hiszen van alsó korlátja (k=1) és van felső korlátja is, K=3.
Legyen adott az bn=(-2)n sorozat. A sorozat tagjai váltakozó előjelüek. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából is a fenti \( a_{n}=\left\{\frac{n+1}{n-1} \right\} \) sorozatot. a2=3; a3=2; a4=5/3; a5=6/4;… és így tovább.
Ebből az a sejtésünk, hogy a tagok egyre kisebbek lesznek. Ez azonban csak sejtés. Azaz: \( \left\{\frac{n+1}{n-1} \right\}>\left\{\frac{(n+1)+1}{(n+1)-1} \right\} \). A nevezőkkel átszorozva kapjuk a következő egyenlőtlenséget: n⋅(n+1)>(n+2)⋅(n-1).
Azaz: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;… és így tovább. (Ez az un. A sorozat definíciójából következik, hogy a 2. tagtól kezdve minden tag kisebb, mint a rákövetkező. Azaz: fn< fn+1, ha n>1.)
Vizsgáljuk most meg monotonitás szempontjából a következő sorozatot! Bár függvényként kezelhetjük őket, de a definíció következtében a függvényvizsgálatok egy részére nincs szükség. Hiszen például az értelmezési tartomány adott, a pozitív természetes számok halmaza. Persze bizonyos sorozatoknál ez szüksülhet is. Erről könnyen megállapítható, hogy minden tagja nagyobb lesz mint 1, hiszen a számlálója nagyobb, mint a nevezője. Alakítsuk át a sorozat hozzárendelési szabályát: \( a_{n}=\left\{\frac{n+1}{n-1} \right\}=\left\{ 1+\frac{2}{n-1}\right\} \; n∈\mathbb{N}^{+} \; n>1 \).
Az {an} sorozat felülről korlátos, ha van olyan „K” szám, hogy a sorozat minden an tagjára an ≤K teljesül. Az {an} sorozat alulról korlátos, ha van olyan „k” szám, hogy a sorozat minden „an” tagjára an ≥ k teljesül. Mondhatjuk, hogy a fenti sorozat korlátos, hiszen van alsó korlátja (k=1) és van felső korlátja is, K=3.
- a2=3; a3=2; a4=5/3; a5=6/4;… és így tovább.
- ebből az a sejtésünk, hogy a tagok egyre kisebbek lesznek.
- Ez azonban csak sejtés. Azaz: \( \left\{\frac{n+1}{n-1} \right\}>\left\{\frac{(n+1)+1}{(n+1)-1} \right\} \).
- A nevezőkkel átszorozva kapjuk a következő egyenlőtlenséget: n⋅(n+1)>(n+2)⋅(n-1).
- Azaz: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;… és így tovább.
(Ez az un. A sorozat definíciójából következik, hogy a 2. tagtól kezdve minden tag kisebb, mint a rákövetkező. Azaz: fn< fn+1, ha n>1.)
Vizsgáljuk most meg monotonitás szempontjából a következő sorozatot, és vegyük figyelembe a következő meghatározásokat és megállapításokat.
Hogyan bizonyíthatunk monoton sorozatokat?
Végül, ha érdemes, bevezethetünk egy táblázatot a korlátokra és a monotoniára vonatkozó adatokkal, hogy világos legyen, melyik tagot hogyan befolyásolja a hozzárendelési szabály.
tags: #felso #korlat #definicio