Geometria testek II.: csoportosítások, poliéderek, hengerszerű és kúpszerű testek
A tanegység arról szól, hogy milyen csoportokba sorolhatók a mértani testek, megismered a poliédereket, a hengerszerű és a kúpszerű testeket, és rátekintesz a természetben előforduló alakzatokra.
A testek felületek szerinti csoportosítása
Az egyik felosztás a test felületét vizsgálja. Azokat a testeket, amelyeket csak sokszöglapok határolnak, poliédereknek nevezzük. A poliéder jellemzői: csúcs, él, lap, lapátló, testátló.
Vannak olyan testek is, amelyeket síkidomok és görbült felületek határolnak. Végül vannak olyanok is, amelyeket csak görbült felületek határolnak. Azok között a testek között, amelyek nem poliéderek, találunk olyanokat, amelyeknek a felülete síkba kiteríthető, és olyanokat is, amelyeknek a felülete nem teríthető ki síkba. A kiteríthetőség a felszín kiszámítása miatt fontos.
A testek felszíne a határoló lapok területének összege. Amelyik test síkba kiteríthető, annak a felszíne az így kapott síkidomok területének az összege. Ha nem teríthető ki a síkba a test, nehéz meghatározni a felszínét. A középiskolai matematikában csak a gömb és annak a részei ilyen tulajdonságúak.
Síktól a térig: hengerszerű és hasáb testek
Ha egy síkidom kerületén önmagával párhuzamosan végigvezetünk egy olyan egyenest, amelynek egy közös pontja van a síkkal, akkor végtelen hengerfelületet kapunk. Ezt elmetsszük az alaplappal párhuzamos síkkal, így hengerszerű test keletkezik. A végigvezetett egyenesnek az alaplap és a fedőlap közé eső szakasza az alkotó. A két sík távolsága a magasság. Ha az alkotók merőlegesek az alaplapra, a test egyenes, ha nem, akkor ferde. Ha az alaplap kör, a test neve henger, ha az alaplap sokszög, akkor pedig hasáb.
Kúptípusok és csonkított testek
Ha egy síkidom kerületén úgy vezetünk végig egy egyenest, hogy az állandóan illeszkedjen egy, a síkidom síkján kívüli pontra, akkor kúpszerű testet kapunk. A csúcspont és az alaplap távolsága a test magassága. Ha a csúcspontot összekötjük az alaplap kerületi pontjaival, akkor alkotókat kapunk. A kúpszerű test kúp, ha az alaplap kör, gúla, ha az alaplap sokszög. A kúp lehet egyenes vagy ferde. Szabályos gúláról akkor beszélünk, ha az alaplapja szabályos sokszög és az oldalélei egyenlők. Csonka kúpszerű testet kapunk, ha a kúpszerű testet elmetsszük az alaplappal párhuzamos síkkal. A csonka test lehet csonka gúla vagy csonka kúp is. Egyik eddigi csoportba sem sorolható be a gömb.
A gömb és a szabályos testek
A gömbfelület olyan pontok halmaza a térben, amelyek egy adott ponttól, a középponttól egyenlő távolságra vannak. Ha egy kört megforgatunk valamelyik átmérője körül, akkor gömböt kapunk. Szabályos testek a poliéderek közül azok, amelyeknek a lapjai egybevágó, szabályos sokszögek, valamint az élszögei és a lapszögei is egyenlők. Összesen 5 szabályos test van. Az elnevezésük a görög számnevekből származik.
Különleges mértani testek a magyar tudósok nyomán
Az ismert testek mellett sok különleges mértani test van. Közülük három olyat vizsgálunk meg, amelyeket magyar tudósok fedeztek fel. A Szilassi-poliéder egy konkáv poliéder hét hatszögletű lappal. A tetraéder mellett az egyetlen olyan poliéder, amire teljesül, hogy bármelyik két lapjának van közös éle. Nevét Szilassi Lajos magyar matematikusról kapta, aki az alakzatot 1977-ben fedezte fel. A Császár-féle test nemkonvex poliéder. 14 háromszög határolja. Átlói nincsenek, minden pár csúcs egy élben érintkezik egymással. A nevét a felfedezőjéről, Császár Ákosról kapta.
A gömböccel ismerkedés
És végül ismerkedj meg a gömböccel! A gömböc egy konvex, homogén, háromdimenziós test, amelynek az a specialitása, hogy összesen két: egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van. A stabil helyzet az, amit a képek mutatnak. Az instabil ugyanez fejjel lefelé fordítva. Itt elvben meg tudna állni, de bármely kis mozgás kibillenti ebből a helyzetből. Ezt a különleges testet Várkonyi Péter és Dr. Csordás József − Kosztolányi József − Kovács István − Pintér Klára − Dr. Urbán János − Vincze István: Sokszínű Matematika 12, Mozaik Kiadó, 2013., 76-81.
Geometriai testek | Matematika | Matyka16 matematika videók
Gyakorlati ajánlások
- Értelmezd a felületek összetevőit, és a kiteríthetőség fontosságát a felszín meghatározásában.
- Ismerd meg a különböző testtípusok jellemzőit: poliéderek, hengerszerű testek, kúpszerű testek, gömb és gömböc.
- Figyeld meg a példákban, hogyan kapcsolódik a kerület, a oldalélek és a lapszögek fogalma a testek tulajdonságaihoz.
Összefoglaló áttekintés
- Poliéderek: felületük síkba teríthető vagy sem; jellemzőik: csúcs, él, lap, lapátló, testátló.
- Hengerszerű testek: alaplap kör vagy sokszög; magasság a középponttól mért távolság.
- Kúpszerű testek: alaplap kör vagy sokszög; alkotók és magasság kapcsolata.
- Gömb és gömböc: gömb definíciója és különleges egyensúlyi tulajdonságai.
- Különleges testek: Szilassi-poliéder, Császár-féle test, gömböcs.
tags: #geometria #testek #epitese #5 #osztaly #ppt