Pitagorasz-tétel és annak különböző bizonyításai, általánosításai és történeti vonatkozásai
A Pitagorasz-tétel vagy Pitagorasz tétele az euklideszi geometria egyik alapvető állítása. A párhuzamossági posztulátum mellett az euklideszi geometria egyik központi tétele, nem-euklideszi rendszerekben (mint pl. a Minkowski-geometria) nem is feltétlenül érvényes. Felfedezését és első bizonyítását az i. e. 6. századra teszik. Bármely derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével.
A derékszögű háromszögben az átfogó a leghosszabb oldal. Ez adódik a Pitagorasz-tételből, de abból is, hogy nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik, és a derékszög a legnagyobb szög. Az egyenletet teljesítő hármasok közül végtelen sok van, melyekben mindhárom szám egész. Ezeket a hármasokat pitagoraszi számhármasoknak nevezzük. A Pitagorasz-tétel megad egy módszert arra, hogy kiszámoljuk két pont távolságát egy Descartes-féle koordináta-rendszerben. Ez kihasználja, hogy a koordinátatengelyek merőlegesek egymásra. A képlet kiterjeszthető magasabb dimenziókra is, és így adja az euklideszi távolságot. Mivel a tétel csak Euklidész első négy axiomáját használja ki, ezért az ötödik axióma helyettesíthető vele.
A tételnek, mivel központi jelentőségű az euklideszi geometriában, több száz bizonyítása van. Elisha Scott Loomis 1927-ben megjelent könyvében 371 bizonyítást mutat be. A könyv második kiadása 367 bizonyítást listáz. Itt ezek közül mutatunk be néhányat. A bizonyítások két csoportba sorolhatóak: a geometriai és az algebrai jellegűek közé. A tétel jelen bizonyítását először Bhászkara hindu matematikus írta le, ezért is nevezik hindu bizonyításnak. A fenti képről leolvasható a tétel bizonyítása. Mindkét nagy négyzet egyenlő területű, tehát ha mindkét oldalon elhagyjuk az azonos területű 4-4 háromszöget, akkor a maradék területének is egyeznie kell. Helyezzük egymás mellé az a és a b oldalú négyzeteket úgy, hogy egy oldaluk egymáson feküdjön, másik oldaluk pedig egy egyenesen legyen. Így kapjuk az ABGHIF hatszöget. Az AB oldalon vegyük fel a J pontot úgy, hogy FJ=JG=c legyen. Ha ezeket a háromszögeket az FI, illetve a GH oldalra másoljuk, kapjuk a JGLF négyzetet. Az eredeti két négyzet területe tehát egyenlő a mpst kapott négyzetével, ami a tétel állítása. A tétel ilyen módon való bizonyításával (illetve egy ehhez nagyon hasonlóval) Tábit ibn Kurra kéziratában találkozik először, ezért is nevezik arab bizonyításnak. Ezt a bizonyítást Eukleidész Elemek című könyve tartalmazza (47. állítás), ahol is a befogótételből következik. Ezt egybevágó háromszögekkel látja be.
Ez azért van, mivel a befogók és a átfogó kapcsolatát az arányosság és a területek összevetése adja. Emellett az háromszög területe fele az téglalap területének, hiszen az háromszög átfogója és a téglalap oldala egyenlő hosszú, illetve a -hez tartozó magasság ugyanakkora, mint a téglalap másik oldala. Hasonlóan belátható, hogy az háromszög területe az négyzet fele. Az háromszög és az háromszögek egybevágósága miatt az négyzet területe megegyezik az téglalappal. Hasonlóan megmutatható, hogy az és háromszögek egybevágók, és ebből következően az négyzet területe egyenlő az téglalappal. A 6. könyvben Eukleidész még egyszer bebizonyítja a Pitagorasz-tételt. Itt négyzetek helyett hasonló háromszögeket használ, és felhasználja az arányosságot is, melyet csak Knidoszi Eudoxosz bizonyított be. Az 1. ábra a befogónégyzetekkel való parkettázást mutatja. A 2. A tétel szerint a derékszögű háromszög befogója az átfogó és az átfogóra eső merőleges vetület mértani közepe. Most válasszuk hosszparaméternek az átfogót, a területkonstans pedig legyen χ. A bizonyítás nem használja ki az oldalakra írt síkidomok „négyzetségét”, így sokkal általánosabb, mint a tétel állítása. A bizonyítást Einstein is megtalálta iskolai tanulmányai során, ezért sokan Einstein-féle bizonyításnak is nevezik. Valójában azonban már pár száz évvel korábban is ismert volt. Ezért létezik többféle történeti vonás is a tétel megértésében.
Típusos megközelítések és történeti kitekintés
Elsőként Euklidész VI. Könyvében egy c oldalhosszúságú négyzet oldalainak belső oldalaira a háromszög megszerkeszthető. Ekkor középen egy a-b oldalhosszúságú négyzetet kapunk. Vegyük fel az a+b oldalhosszúságú négyzetet! Ennek oldalaira mérjük fel a háromszöget oly módon, hogy a befogók rendre a négyzet egy-egy oldalára illeszkedjenek. Legyen derékszögű háromszög, és derékszöge a C csúcsnál. Meghatározzuk az vektorokat úgy, mint .
Jelöljük meg a derékszögű háromszög három oldalát a, b és c-vel, ahol a és b a befogók, c pedig az átfogó. A Pitagorasz-tétel megfordítása bizonyítható a tételek felhasználásával. Legyen egy olyan háromszög oldalai, melyre teljesül, hogy a²+b²=c². Ehhez szerkesztünk egy derékszögű háromszöget, és befogókkal. A Pitagorasz-tétel miatt egyenlő az eredeti háromszög oldalával. A koszinusztételben a korrekciós tag nullára redukálódik, és adódik a Pitagorasz-tétel speciális esete. A különböző megközelítések közül az egyik legismertebb a Theodorus spirál leírása, ahol az egyes háromszögek átfogóinak hossza a sorban növekvő négyzetszámok gyökei. Ebben a megközelítésben a teoréma általánosításai jelentős helyet foglalnak el a geometria fejlesztésében.
Khioszi Hippokratész az i. e. 5. században ismerte a befogókra emelt hasonló alakzatok területének összege és az átfogóra emelt hasonló alakzat területének egyezőségét. Körökre és félkörökre ezt az állítást pive-szorozva is bizonyítható, ha a Pitagorasz-tételt a pivel szorozzuk. Az általánosítás továbbvihető absztrakt matematikai struktúrákra, például végtelen dimenziós függvényterekre. Mindezeken a területeken a megfordítás is teljesül. Ha az egyenlőség teljesül, akkor a két vektor ortogonális. Ezt a gondolatot továbbfejlesztve a koszinusztétel és a vektoros összefüggések általánosítása történik a topologikus vektorterekben is. A későbbi általánosítások mind síkban, mind térben megjelennek, például a Gua-tétel esetében ahol a derékszögű háromszöget helyettesíti a derékszögű tetraéder és a lapok felszíne játszik szerepet.
A tétel történeti és didaktikai kitekintése
A görögök elképzelése, hogy a Pitagorasz-tétel elsődlegesen területek összehasonlításáról szól, részben a görög gondolkodásból adódik. A velük kapcsolatos történeti viták szerint Püthagorasz az i. e. VI. században élt matematikus és filozófus, akinek a tételt tulajdonították. A tétel nevét azonban sok esetben csak későbbi forrásokban kapcsolják össze vele. A babilóniai és kínai hagyományok is ismertek hasonló számhármasokat, és a kínaiak bizonyításokat is adtak rá. Eukleidész a VI. századi geometriai tudás összegzésekor két különböző bizonyítást közöl a témáról az Elemekben. Proklosz i. sz. 5. századi kommentárjaiban már felmerül a Pitagorasz-tételhez való társítottság kérdése, és egyes források beszámolnak ökrökről is, amelyek e hitélethez kapcsolódnak. A modern irodalomban a Pitagorasz-tétel összetett története miatt sokféle értelmezés él, és gyakran említenek több száz bizonyítást is.
Gyakorlati példák és alkalmazások
Az egyik legismertebb alkalmazás a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása: ha a és b a befogók, c az átfogó, akkor a² + b² = c². A gyakorlati példák közé tartozik például létra hosszának meghatározása falhoz támasztva vagy egy téglalap másik oldalának kiszámítása a diagonális segítségével. A tétel alapján lehet például kiszámítani négyzet alapú piramisok oldalait és testmagasságát, hiszen a gúla oldalai is derékszögű háromszögek révén kapcsolódnak az alaphoz. A pitagoraszi számhármasok és az arab, hindu vagy kínai bizonyítások történeti áttekintése megmutatja, hogy a tétel sokféle megközelítésben érthető és alkalmazható.
A Pitagorasz-tétel különféle általánosításai és kapcsolódó eredményei kiterjesztik a gondolatot a hjog műveletekre és a vektorokra is. A tétel megfordítása és a különböző speciális esetek mind a geometria, mind a topológia és a lineáris algebra területén megjelennek, és a haránt összefüggéseket mutatják meg. A tétel továbbra is alapként szolgál a tanításban és a kutatásban egyaránt, a földi és kozmikus méretek közötti határterületeken is megjelenő összefüggéseket feltárva.
Pythagorean theorem water demo
tags: #komuvesek #pitagorasz #tetele